Alors voilà...

Un beau matin de février -29.981, Kévin Cro-Magnon, chasseur-cueilleur en RTT, ouvre sa grosse main velue et observe tour à tour chacun de ses doigts boudinés. Puis, lâchant son os de mammouth à moitié rongé, poursuit l'observation hébétée de son autre main pour finalement hurler à travers la savane endormie "KIMAZDAMONBIGMAC ?", cri primal approximativement traduisible en "Quel est l'Australopithèque qui m'a lâchement dérobé mon quatre heure ?".

Bon, d'accord... L'invention de la numération en base 10 est remise à plus tard... Mais elle n'en sera pas moins promise à un bel avenirAvenir si prometteur que, désormais, le petit homme a mieux intérêt à maîtriser la calculatrice que le dictionnaire s'il veut réussir sur cette planète... auprès des hominidés, créatures décadactyléesDu grec DECA: dix et DACTULOS: doigt. Bref, un néologisme propre sur lui qui mériterait d'être dans le dictionnaire. par nature.

L'ordinateur, lui, est une créature imberbe, végétarienne, mais surtout complètement manchote. Pas de main, donc pas de doigt, et donc aucune raison de compter en base 10.
Mais alors, sur quoi l'ordinateur compte-t-il ?
Il compte sur ses bitsEt la souplesse n'a rien à voir avec tout cela ! Le bit est l'unité d'information de l'ordinateur, c'est-à-dire la plus petite chose qu'il peut concevoir, à savoir cette simple alternative: "0" ou "1"..
Et si !

Très intimement lié à l'activité humaine, l'ordinateur a pourtant intérêt à disposer de quelques solides méthodes afin de se représenter les nombres dans leur infinie variété: entiers ou décimaux, signés ou non signés, éléments de N, Z, Q, R et autres ensembles aux noms chantants...
Et tout cela uniquement à l'aide de "1" et de "0".

Qui a dit que binaire était synonyme d'enfantin ?

Codage de N (entiers naturels)

N ! Les "entiers naturels", comme ils disent en hauts lieux. Ces nombres que nous utilisons tous les jours, tout simplement, pour compter les objets qui nous entourent: silex, peaux de bête, mouflets, cicatrices... Avec eux, pas de signe négatif, pas de virgule, pas de fractions irrésolues. Que du concret ! Que du pratique ! Bref, les maths comme on les aime... version paléolithique...

Numération et règlement de compte

"L'Homme est un animal qui compte."L'auteur de cette page, hier vers 23h10

A ses premiers babillements, l'Homme se servit très naturellement pour compter de la seule calculatrice qu'il eût toujours sous la main, à savoir ces dix chipolatas roses appelées doigts, qui, levés successivement, lui permettent de représenter dix chiffres.

Par la suite, dès qu'il sût contrôler un tant soit peu ses grognements, l'Homme associa un mot à chacun de ces chiffres. Dès lors, l'univers des nombres s'ouvrait d'un coup aux estropiés et autres affligés des doigts.Population non négligeable en ces temps incertains où le lapin de garenne offrait encore quelque résistance au chasseur.
Mais problème: les mots employés par cette tribu différaient bien souvent des mots utilisés par la tribu d'en face.

Restait un progrès à venir: l'invention de l'écriture et la manière de représenter les nombres à l'aide de symboles graphiques.

Oui mais voilà ! Les nombres étant par nature assez... nombreux, il s'avère délicat d'associer un mot ou un symbole unique à chacun d'entre eux. D'où, très vite, la nécessité de se frotter à l'épineux problème de la numération, c'est-à-dire à l'art et la manière de représenter les nombres de façon à pouvoir les identifier, les reconnaître, et, ainsi, les garder en mémoire.

Homo comptabilis, créature de la base 10

Aujourd'hui, la quasi totalité de l'Humanité...même les Anglais.
C'est pour dire... se sert pour représenter les nombres du même système de numération qualifié de numération décimale positionnelle, expression bien barbare pour définir de fait une méthode que nous avons tous assimilée dès nos premières dents.

Ainsi, juste pour illustrer la chose, désignons au hasard un nombre innocent et volontaire... Par exemple, 5.022.
Nous savons tous, de manière quasi réflexe, que

     5.022 = 5 x 1.000 + 0 x 100 + 2 x 10 + 2 x 1          ...ce qui revient à écrire:
     5.022 = 5 x 10³ + 0 x 10² + 2 x 10¹ + 2 x 10⁰

...puisque 10⁰ = 1, comme d'ailleurs n'importe quel nombre élevé à la puissance zéroLe genre d'égalité fondamentale qui liquéfie sur place tout littéraire normalement constitué... Mais qui s'explique finalement assez bien....

Notre décomposition de 5.022, sûrement inutile à vos yeux, a néanmoins le mérite de rendre lumineux le caractère décimal de ce système de numération.
En terme très mathématique, on dit que 10 constitue la base de notre système. Il s'explique simplement par le nombre de symboles graphiques, ou chiffres, dont nous disposons pour représenter nos nombres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

L'autre intérêt de notre petit exercice est d'illustrer le caractère positionnel de notre système puisque nous constatons que la numération telle que nous la pratiquons consiste simplement à juxtaposer les coefficients associés aux puissances de dix successives, en omettant tout bonnement d'indiquer ces dernières.

Dès lors, la position d'un chiffre au sein d'un nombre est essentielle, chaque position ayant un "poids" croissant d'un facteur 10 de la droite vers la gaucheAinsi, le chiffre placé le plus à droite (c'est-à-dire d'ordre 1) a un "poids" de 1 (ce sont les unités), le chiffre situé immédiatement à sa gauche (d'ordre 2), un "poids" de 10 (ce sont les dizaines), le chiffre suivant (d'ordre 3) un "poids" de 100 (ce sont les centaines, etc..

Pulex informatix, créature de la base 2

"La puce est une machine, mais qui compte aussi."Toujours l'auteur de cette page, hier vers 23h15

Bien ! Oubliez maintenant un instant votre univers décimal si douillet et imaginez que nous n'ayions, pour représenter les nombres, non plus dix symboles différents, mais seulement deux: le "0" et le "1".
Puis reprenons notre petit exercice précédent...

Et bien nous y voilà ! Bienvenue dans la numération binaire positionnelle ! Le système de numération pour lequel tout nombre, quel qu'il soit, sera uniquement composé à partir des chiffres 0 et 1 - ce qui, il faut bien le reconnaître, n'est pas pour déplaire à nos chers processeurs.

Mais même si nous changeons de base, les principes de la numération positionnelle restent parfaitement identiques. Nous aurons simplement soin de remplacer nos puissances de dix par des puissances de deux.

Ainsi, si nous prenons un nombre quelconque exprimé en base 2 (par exemple, 10011Oui, c'est la caractéristique des nombres exprimés en base 2: ils sont un peu monotones...) et que nous lui appliquons la même décomposition que nous avons accomplie un poil plus haut à un nombre décimal, nous pouvons écrire:

     10011 = 1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰          ...ce qui revient à écrire:
     10011 = 1 x 16 + 0 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1

... c'est-à-dire 19.

Félicitations ! Vous savez désormais convertir un entier de la base 2 vers la base 10 et, de fait, savez comment s'y prend l'ordinateur afin de coder les entiers naturels.
Enfin, quasiment...

"Quasiment" car il faut nous rappeler à ce stade la petite caractéristique de l'ordinateur: sa propension à manipuler des octetsUn petit lien, pour rappeler les faits..., et non des bits isolés. Ceci explique que le nombre 10011, notre exemple, sera en fait codé ainsi: 00010011, avec trois zéros initiaux, non significatifs pour les calculs, mais néanmoins indispensables de par le mode de fonctionnement interne du processeur.

D'une base à l'autre

Les conversions entre entiers exprimés en base 10 et base 2 restent du domaine de l'enfantin, dès lors que vous connaissez vos puissances de deux et savez reconnaître un nombre pair d'un nombre impair.
Démonstration:

La très embarrassante situation du bit qui dépasse

Malgré leur aspect quelque peu monotone pour nous autres, créatures décimales, les entiers binaires se comportent comme des nombres tout à fait "normaux", et se prêtent donc aux mêmes opérations classiques que notre arithmétique en base 10.

...Avec une petite différence néanmoins. Une énorme différence, en fait... Due à la manie très particulière qu'a la machine de toujours faire tenir ses entiers dans un nombre fixe d'octet(s). Il se peut, en effet, qu'au cours d'un calcul, le résultat produit donne un résultat trop grand pour pouvoir "tenir" dans le nombre d'octets alloués au codageAinsi en serait-il d'une opération entre deux entiers codés sur un octet dont le résultat serait supérieur à 11111111₂, ou de deux entiers codés sur deux octets dont le résultat excèderait 11111111 11111111₂.. Que se passe-t-il alors ?

Et bien le processeur déclenche dans ce cas une alerte interne appelée overflow ou, s'il est d'origine francophone, dépassement de capacité, qui provoque l'arrêt du calcul en cours, calcul de toute façon erroné.

Comme vous vous en doutez, si rien n'est prévu dans le programme afin de gérer cette situation embarrassante, les conséquences peuvent s'avérer fâcheuses et prendre toutes les apparences d'un bon bug des familles.

Codage de Z (entiers relatifs)

Comme l'a très bien fait comprendre son banquier à l'auteur de cette page, les nombres négatifs constituent décidément un très gros problème... En binaire, pareil ! Premier défi, donc: comment représenter à l'aide de bits les entiers positifs ET négatifs, sachant qu'en bonne machine totalement binaire, un bête processeur ne pige ni le signe plus, ni le signe moins ?

Signe particulier: sous forme de bit

Sachant qu'un signe en mathématique ne peut prendre que deux valeurs différentes, un réflexe quasi bestial pourrait nous incliner à dédier le bit de plus haut poids...autrement dit le bit situé le plus à gauche. de la séquence à l'indication du signe: par exemple "0" pour les entiers positifs et "1" pour les entiers négatifs.

Cette approche, fort simple et parfaitement valable, est appelée représentation signe-valeur absolue, mais comporte deux très légers inconvénients de taille:

• Lors des calculs, ce bit de signe ne peut être considéré tel quel par la machine mais doit faire l'objet d'un traitement particulier sous peine de conduire à des résultats plutôt surprenantsExemple de résultat surprenant:
     00000110₂ (soit 6₁₀)
   +10000110₂ (soit -6₁₀)
  ----------------
   =10001100₂ (soit -12₁₀ !!!),
• Le nombre 0 se trouve représenté par deux valeurs distinctesCe qui, en plus d'apoplexier tout mathématicien normalement constitué, rendrait plus difficile la tâche de l'ordinateur lors de tests de comparaison.: +0 (00000000) et -0 (10000000).

Non, franchement, si on pouvait trouver un autre moyen...ça arrangerait bien pupuce......

Attention ! Comprenez bien qu'il n'est plus possible ici de parler de conversion entre bases décimale et binaire, car la représentation par signe-valeur absolue ne constitue plus stricto sensu une numération positionnelle, de par la présence du bit de signe. Il s'agit plutôt dans ce cas d'un simple codage binaire, dans le sens où l'on transforme une information (ici, un entier) en une séquence de bits.

Un complément pour avoir moins ?

Le Complément d'Objet Négatif

Soit un nombre binaire N composé de p bits...le genre de début de phrase qui annonce des moments difficiles.... En mathématique, on appellera complément à 1 de N le nombre noté N tel que N + N = 2^p - 1.

En langage compréhensible, ce complément N est donc le nombre qui, ajouté à N, donnera un résultat composé uniquement de 1.
Par exemple, 100101₂ est le complément à 1 de 011010₂ puisque on a bien:

     100101₂ + 011010₂ = 111111₂ = 2⁶ - 1

Techniquement parlant, ce complément à 1, également appelé complément logique, est très facile à obtenir puisqu'il suffit de remplacer les "1" par des "0", et vice versa.

Notons en passant que, de par la définition du complément à 1, on a:

     N + N = 2^p - 1     ...soit, par d'habiles transferts de part et d'autre de l'égalité:   -N = N + 1 - 2^p

Bien. Concentrons-nous maintenant un chouia et rappelons-nous qu'un processeur a pour habitude de coder ses nombres sur un nombre fixe d'octet(s). Dès lors, p est égal à 8, 16 voire 32 et, conséquence immédiate, 2^p est donc un nombre composé d'un "1" suivi de 8, 16, voire 32 "0" - c'est-à-dire un nombre trop grand pour tenir dans le nombre d'octet(s) qui lui est alloué.

Ce "1" initial, puisque débordant sur la gauche, peut-être très facilement ignoré par la machine. Dès lors, le nombre 2^p se voit réduit à une série de "0", c'est-à-dire 0.

Et on se retrouve alors avec l'égalité simplifiée:   -N = N + 1

Hé, hé... En mathématiques, -N est appelé l'opposé de N, et ce, en base 10 comme en base 2 ! Il semble donc bien que, l'air de rien, nous ayions trouvé là une manière très élégante de représenter en binaire les entiers négatifs, simplement en ajoutant un au complément à 1 de leur opposé positif.

En binaire, on appelle complément à 2 (ou encore complément arithmétique...ou bien encore complément vrai.) de N cette valeur N + 1.

Caractéristiques du complément à 2

Bien ! Maintenant que nous avons compris le principe du codage des entiers relatifs par la méthode du complément à 2, penchons-nous un peu sur ses caractéristiques les plus remarquables.
Et elles le sont !

• Le bit de plus haut poids équivaut de fait à un bit de signe: "0" pour les entiers positifs, "1" pour les entiers négatifs.
  Attention ! Cette phrase implique simplement que si la séquence binaire débute par un "1", l'entier codé est un nombre négatif et que si la séquence débute par un "0", l'entier codé est un nombre positif. Ceci ne signifie absolument pas que le nombre positif et son opposé négatif ne diffèreront que par leur bit de signeComme c'est le cas dans la représentation par signe-valeur absolue..
  Une manière moins piégeuse et très pertinente de voir les choses est de considérer ce bit de tête comme associé à un "poids"...comme il est indiqué dans l'animation ci-dessus. de -2^n-1 (avec n = 8, dans le cas d'un octet), les autres bits étant associés à leur puissance de deux habituelle en numération positionnelle.
• Le complément à 2 d'un entier négatif donne bien l'opposé positif de cet entier, ce qui est plutôt rassurant.
• Le 0 est codé par une seule représentation binaireLe mathématicien normalement constitué reprend des couleurs...: 00000000 (dans le cas d'un codage sur un octet).
• Avec n bits, il devient possible de représenter 2ⁿ entiers compris entre -2^n-1 et 2^n-1 - 1.

La soustraction en somme

Vu comme ça, du coin d'un oeil très littéraire, le codage des entiers relatifs par la méthode du complément à 2 semble effectivement assez ingénieux mais d'un intérêt pratique assez douteux. Et pourtant ! Ce procédé de codage a l'immense intérêt de permettre à la machine de considérer la soustraction de deux entiers comme l'addition du premier à l'opposé du secondA - B = A + (-B) !

La chose a beau vous sembler évidente à vous, créature supérieurement intelligente, le fait est que ce type de représentation binaire des entiers permet à l'ordinateur de gérer effectivement une soustraction exactement comme s'il s'agissait d'une addition, ce que ne permettrait pas, par exemple, le codage par signe-valeur absolueRappelez-vous notre exemple de résultat plutôt surprenant....

D'un point de vue strictement matériel, cet avantage devient plus évident encore car au lieu de concevoir une machine avec un circuit électronique gérant l'addition et un autre circuit gérant la soustraction, un seul et même circuit peut être mis en place pour réaliser les deux opérations.
Gain de temps, de place, de coût... bref, l'ingénieur et l'actionnaire réunis dans une même allégresse jubilatoire.

Nous voyons ici que dans le cas des entiers codés par complément à 2, les dépassement de capacité (ou overflows) ne sont plus du tout liés à l'apparition d'un bit surnuméraire. En réalité, dans ce cas très précis d'addition-soustraction d'entiers codés par complément à 2, ils se produisent lorsque deux entiers de même signe donnent un résultat de signe opposéOu, en d'autres termes, quand deux nombres dont le bit le plus à gauche est identique donne un résultat dont le bit le plus à gauche est inversé..

Quoi qu'il en soit, c'est toujours au processeur de surveiller le domaine de validité d'une opération de ce type et de déclencher une alerte overflow lorsque le résultat d'une opération est trop grand ou trop petit pour pouvoir être codé par la méthode de codage utilisée par ses membres.

Les bits en biais

Une autre possibilité de codage des entiers signés existe: la représentation biaisée (biased in english), également appelée représentation par excès. Celle-ci, très simple, consiste à considérer tout nombre binaire codé comme un entier non signé auquel on soustrait une constante, ou biais, définie selon le domaine de validité des entiers codés que l'on recherche.

Et croyez bien que ce n'est pas par pur sadisme que nous vous présentons ici cet autre codage des entiers signés, mais bel et bien parce que nous risquons fort de le croiser tantôt...

Bien ! Il est l'heure maintenant de récapituler nos rutilantes connaissances dans un tableau bien sexy (NR = valeur Non Représentable):

Codage de R (réels)

Bon, les entiers, c'est codé !
Puisque vous semblez en forme, nous pouvons nous atteler à un deuxième défi de taille, à savoir: comment représenter en binaire un nombre à virguleOui, c'est vrai que l'expression ne fait pas très rigoureux rigoureux... Mais l'auteur de cette page a décidé de rassembler sous ce même béotien vocable à la fois les nombres rationnels (Q) et les réels (R).
Puisse Mme Verduyn, sa vénérable professeur de Mathématiques de 6ème, lui pardonner..., sachant qu'un processeur, décidément pas très fute-fute, ne pige pas non plus le symbole virgule ?

Virgule: A votre rang, fixe !

Au risque de vous prendre pour de grands niais, rappelons qu'un nombre réel se compose de deux parties distinctes: une partie entière, située à gauche de la virgule, et, éventuellement, une partie décimale, située après celle-ci.

Pour ce qui est de la partie entière, nous savons désormais...enfin, nous l'espérons... parfaitement la coder. Mais quid de de la partie décimale ?

Et bien il nous suffit de reprendre le principe de la numération positionnelle, en considérant chaque bit situé après la virgule comme associé cette fois à des puissances négative de deux, tout comme nous le faisons pour la base 10.

Ainsi, pour reprendre notre petit exercice de décomposition déjà vu plus haut, nous savons que:

     5.022,78 = 5 x 1.000 + 0 x 100 + 2 x 10 + 2 x 1 + 7 x 0,1 + 8 x 0,01          ...ce qui revient à écrire:

     5.022,78 = 5 x 10³ + 0 x 10² + 2 x 10¹ + 2 x 10⁰ + 7 x 10^-1 + 8 x 10^-2

De la même manière, on pourra également écrire:

     10111,011 = 1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 1 x 2^-3          ...soit:

     10111,011 = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 + 0 x 0,5 + 1 x 0,25 + 1 x 0,125

...c'est-à-dire 10111,011₂ = 23,375₁₀

Le problème, comme nous le disions il y a peu, reste le codage de la virgule. Impossible en effet de la symboliser par un bit, car comment par la suite reconnaître ce bit codant la virguleProblème que ne pose pas le codage du signe, par définition toujours placé au même endroit. parmi tous les bits composant le nombre proprement dit ?

Le seul moyen de procéder est pour la machine de convenir une fois pour toute d'une position immuable et tacite de la virgule.
Les réels codés selon cette méthode seront alors dits représentés en virgule fixe.

Fluctuat nec mergitur

Le flottement de la virgule au milieu des bits

De fait, les scientifiques utilisent une notation ingénieuse des réels à laquelle ils ont d'ailleurs modestement donné leur nom. Celle-ci consiste à écrire les nombres sous la forme:

(-1)^signe . Mantisse . 10^±Exposant

Cette notation, quoiqu'un chouia flippante, a néanmoins l'immense mérite de pouvoir représenter à la fois les très grands et les très petits nombres sans s'encombrer d'une floppée de zéros.

Les réels codés sous cette forme sont dits représentés en virgule flottante (floating point).

Bien entendu, la chose reste tout à fait possible en base 2. L'écriture devient alors:

(-1)^signe . Mantisse . 2 ^±Exposant

...où mantisse et exposant seront bien évidemment exprimés en binaire.

Et bien ne cherchez pas plus loin ! Voilà comment les processeurs s'y prennent pour représenter de manière convenable les réels. Avec, bien évidemment, quelques petites particularités toutes personnelles. Ainsi:

• La base 2, par définition immuable, sera omise.
• Le signe du nombre sera codé par le bit de plus haut poids de la mantisse: "0" pour les réels positifs, "1" pour les réels négatifs - à l'image de la représentation par signe-valeur absolue.
• L'exposant sera codé selon une représentation biaisée.
• L'exposant sera établi de telle manière que la mantisse soit de la forme "1,..."Ainsi, par exemple, le réel binaire 1001000111 sera codé sous la forme 1,001000111.2⁹ ou le réel 0,0000011001 sous la forme 1,1001.2^-6., c'est-à-dire de telle manière que la virgule soit située juste après le premier bit égal à "1". On parle alors de mantisse normalisée. Cette constance nous permet de délibérement omettre ce premier bit - on parlera de bit caché...ce qui est quand même plus convenable... - et de gagner un bit supplémentaire pour la précision.
  La mantisse s'exprimera alors comme un nombre réel à virgule fixe où la virgule serait fixée en tête de la séquence, et codera donc, par conséquent un réel compris dans l'intervalle binaire [1, 10[...de par la présence du bit caché égal à "1" !.

Bref, le codage binaire des réels tel que le pratique un ordinateur ressemble un petit peu à un vaste pot-pourri des différentes méthodes de codage que nous venons de voir.
En tout cas, vous ne serez pas surpris d'apprendre que la taille totale en bits de l'ensemble constitué par le bit de signe, la mantisse et l'exposant sera généralement un multiple d'octets.

L'infini en quelques bits

Voici peut-être le bon moment pour glisser sur cette page une petite animation d'aspect a priori hostile, mais qui va nous en apprendre beaucoup sur la représentation des réels en virgule flottante.
 

Après quelques minutes très ludiques passées à exploiter cette animation hollywoodienne, nous avons tous...mais si, mais si. remarqué quelques très intéressantes particularités:

• Nous savons tous que certains réels sont par définition impossibles à représenter en numération classique. C'est le cas de certains nombres rationnels, exprimables uniquement sous la forme de quotients d'entiersAinsi, nous vous mettons au défi de représenter exactement 1/3 ou -2/7 à l'aide d'une virgule.
  Si vous voulez néanmoins tenter l'aventure, nous repasserons le mois prochain voir où vous en êtes., ou de réels dont la partie décimale s'avère infinie...comme le fabuleux nombre pi, dont les plus puissants ordinateurs n'ont toujours pas fini d'extraire les plus profondes décimales..
  L'ordinateur n'allouant qu'un nombre fixe d'octets aux réels qu'il représente, la représentativité des nombres n'en devient que plus limitée encore. Ainsi, même si n bits permettent de coder 2ⁿ valeurs différentes, le résultat reste somme toute assez léger pour correctement coder des réels en nombre infini.
  Conséquence navrante mais inéluctable de tout cela: un processeur sera très souvent contraint de faire appel à des approximations afin de représenter les réels.
  Les plus matheux(ses) auront immédiatement compris...et les plus observateurs se contenteront de le vérifier sur l'animation ci-dessus... que le degré de précision de la représentation par virgule flottante des réels sera directement proportionnel au nombre de bits alloué à la mantisse, alors que le nombre de bits alloué à l'exposant conditionnera l'amplitude de l'intervalle des nombres représentables.
• Curiosité amusante mais somme toute très logique de la représentation par virgule flottante: toutes les valeurs codables ne se trouvent pas régulièrement espacées entre elles...comme c'est le cas de la représentation par virgule fixe.. En effet, l'éventail des valeurs codées se resserre autour de l'origine et s'espace progressivement vers la borne supérieure de l'intervalle représentable.
• Las but not least: de par l'existence de notre bit caché, le nombre zéro s'avère impossible à coder selon ce procédé de codage binaire par virgule flottante. Il faudra donc trouver un moyen de remédier à cette lacune rédhibitoire.

IEEE-754: La virgule flottante n'est plus vague

Comme nous venons de le voir, le processeur dispose donc d'une méthode générale de codage des réels satisfaisante quoique forcément imparfaite. Ces imperfections, justement, sont directement liées aux nombres de bits alloués au codage de la mantisse et de l'exposant.
L'idéal, maintenant, serait qu'un réel codé sur un ordinateur corresponde au même réel sur l'ordinateur du bureau d'à côté...juste histoire de ne pas semer la panique à la NASA, chez Airbus et à l'INSEE... (renseignement pris, ça ne poserait finalement pas trop de problème dans ce dernier cas).

La virgule flottante standardisée

En 1985, un pas de géant est accompli vers l'harmonie et la paix entre les puces; la très sérieuse Institut des ingénieurs en génie électrique et électronique (Institute of Electrical and Electronic Engineers) rend la conclusion de ses longs travaux et propose une norme, poétiquement baptisée IEEE-754, afin de standardiser l'arithmétique en virgule flottante des ordinateurs de la planète.

Bien évidemment, le premier souci est de définir des formats normalisés de codage des réels. Parmi les formats retenus, deux connaîtront un certain succès: les formats simple précision et double précision, ci-dessous décrits:
 

Valeurs particulières

Au gré de vos clics sur la dernière animation, vous avez peut-être découvert de drôles de valeurs, plus ou moins mystérieuses, en particulier lorsque l'exposant est minimal (00000000) ou, au contraire, maximal (11111111).
C'est que, pour correctement fonctionner, la norme IEEE-754 a prévu certaines configurations particulières afin de coder quelques cas remarquables et autres monstruosités mathématiques:
 

Les nombres dénormalisés sont-ils des nombres comme les autres ?

Mais tout à fait ! Les nombres dénormalisés ont juste ceci de particulier, c'est que leur bit caché n'est pas égal à un, mais égal à zéro. D'où leur nom, puisqu'en contradiction avec notre règle de "normalisation" voulant que la mantisse débute toujours par un "1".

Les nombres dénormalisés ont été prévus afin de remédier à un petit problème engendré par la représentation en virgule flottante. Pour expliciter ceci plus facilement, nous allons inventer un nouveau format fantaisiste de codage des réels: le format "super-pauvre précision", doté de trois bits pour l'exposant et de trois bits pour la mantisse.

Ce format épousant les principes de la norme IEEE-754, la valeur du biais est de 3...soit 2² - 1 et le plus petit réel positif codable est donc 00010000 pour le bit de signe (+), 001 pour l'exposant minimal (la valeur 000 étant réservée pour le codage de zéro et des nombres dénormalisés) et 000 pour la mantisse, codant le nombre 1 de par l'existence du bit caché., soit 2^-2. Illustrons sur un petit schéma les différents nombres représentables au voisinage de zéro:

Comme nous le constatons facilement, sans l'existence des nombres dénormalisés, aucune valeur ne se trouve représentable entre 0 et ±2^-2, alors que huit valeurs sont codables entre 2^-2 et 2^-1, entre 2^-1 et 2⁰, etc... Il y a donc un trou béant entre la plus petite valeur représentable et la valeur zéro. Or, en plus d'être très disgrâcieux, ceci peut avoir des conséquences assez fâcheuses.

Imaginez un instant que nous ayions deux nombre x et y, si proches l'un de l'autre que, bien que différents, leur différence soit inférieure au plus petit réel codable, et, donc, arrondie à zéro. Si cette différence intervient comme dénominateur d'une division, catastrophe ! Le processeur perd pied et se réfugie illico derrière un infini. Grâce aux nombres dénormalisés, le plus petit réel codable dans notre format super-pauvre précision devient 0000001... soit 0 pour le bit de signe (+), 000 pour l'exposant minimal (nous trouvant ici dans la zone des nombres dénormalisés) et 001 pour la mantisse, codant le nombre binaire 0,001 de par l'existence du bit caché, égal ici à 0., c'est-à-dire 0,125.2^-2. Or, si x et y sont reconnus par la machine comme des nombres différents, leur différence ne peut par conséquent pas être inférieure à cette valeur minimale: l'arrondi de cette différence ne peut donc plus être nul et les meubles sont sauvés.

Les chimistes, physiciens et autres gros consommateurs de nombres infinitésimaux peuvent respirer...

La numérisation des réels par quatre chemins

Comme nous l'avons déjà dit plus haut, de par le nombre infini de réels existants, la probabilité qu'un nombre puisse être codé très exactement par une machine est quasi nulle (0⁺, pourrait dire l'obsédé du IEEE-754). La probabilité est donc gigantesque que l'on soit forcé de procéder à une approximation afin de pouvoir représenter un réel, qui se trouvera dès lors comme qui dirait "arrondi".

Décidément fort bien faite, la norme IEEE-754 a également prévu cet état de fait et propose en ce sens quatre modes "d'arrondissement" des réels.
Ainsi, si l'on appelle "réels machine" les différents réels exactement codables par le format IEEE-754, on définit:

• Arrondi vers +∞, noté Δ(x), retourne pour tout réel x le plus petit réel machine supérieur ou égal à x. Bref, un arrondi par excès en bonne et due forme,
• Arrondi vers -∞, noté ∇(x), retourne pour tout réel x le plus petit réel machine inférieur ou égal à x. Bref, comme qui dirait un arrondi par défaut,
• Arrondi vers zéro, noté Ζ(x), retourne Δ(x) pour les réels négatifs et ∇(x) pour les réels positifs,
• Arrondi au plus près, noté o(x), retourne le réel machine le plus proche du réel à coder.

Notez une curiosité rigolotte avec l'arrondi au plus près: il est somme toute possible qu'un réel se trouve "à égale distance" de son arrondi par défaut et de son arrondi par excès. La norme prévoit alors que le réel soit arrondi au réel machine "pair" (c'est-à-dire celui dont le dernier chiffre significatif de la mantisse se termine par un "0").
Ouais... Pas si rigolo que ça finalement...

En ce qui concerne ces modes d'arrondi, la norme IEEE-754 est intraitable sur un point: si deux réels x et y sont arrondis selon un mode déterminé, alors leur opération élémentaire (+, -, x, /) doit donner un résultat également arrondi selon ce même mode.
On parle dans ce cas - excusez l'oxymore - d'arrondi correct.

Exceptions et bits porte-drapeaux

Réduire la norme IEEE-754 à une simple quoique méritante entreprise de standardisation de la représentation des réels serait un peu injuste. Le but ultime du standard vise à ce que les processeurs puissent assurer de manière correcteBon, d'accord: à peu près correcte... et fiableBon, d'accord: à peu près fiable... tous les calculs possibles et imaginables.
En d'autres termes, il faut éviter tant qu'à faire ce peu qu'un processeur délivre en toute décontraction un résultat faux, ou se mette à pédaler dans le silicium en cherchant le résultat d'une division par zéro.

En ce sens, la norme IEEE-754 prévoit qu'après chaque calcul, certains "événements" particuliers (que nous appellerons exceptions), puissent être signalés au programmeur afin que celui-ci puisse intervenir en conséquence et ainsi ne pas perturber la bonne marche du programme.

D'un point de vue plus technique, ces exceptions sont "matérialisées" par des drapeaux ou flags que le programmeur se doit de périodiquement vérifier afin de s'assurer de la validité les calculs effectués par la machine.

Ces exceptions normalisées sont:

• Opération invalide: conséquence d'un acte insensé comme une division du type ∞ / ∞ ou encore √(-1). Dans ce cas, le résultat prend la forme d'une configuration NaN;
• Overflow, ou dépassement de capacité vers ± ∞, que nous connaissons déjà bien. Cette exception survient lorsque le résultat, en valeur absolue, est plus grand que le plus grand nombre représentable par le format en cours;
• Underflow, ou, pour tenter une francisation, "sous-passement" de capacité. Cette exception survient lorsque le résultat, en valeur absolue, est plus petit que le plus petit réel machine normalisé;
• Division par zéro: toujours problématique...
• Résultat inexact...toujours sympa de la part du processeur de prendre la peine de nous le signaler...: survient, non pas quand le processeur s'est complètement planté dans ses calculs, mais quand le résultat ne peut être codé exactement et que la machine doit donc faire appel à un arrondi.

Bref, tout est prévu !

Ajoutons à la va-viteNous voyons bien que vous êtes sur le point de craquer..., pour simuler la perfection, que le standard IEEE-754 normalise également d'autres menus détails comme les conversions entre différents formats (simple et double précisions entre eux, réels - entiers, formats binaire et décimal...) ainsi que les comparaisons entre nombres (égalité, supérieur à, inférieur à...)

Et pour terminer en beauté, une petite citation en VO d'un des pères de l'arithmétique numérique:

It makes me nervous to fly an airplane since I know they are designed using floating-point arithmetic.
Anton Householder

Enfin bref...

Et voilà ! Nous disposons désormais d'une batterie de méthodes afin de coder en binaire n'importe quel réel imaginable.
Enfin presque... En effet, de par le nombre fixe de bits que l'ordinateur accorde à la représentation des nombres, des approximations sont inévitables, et pas seulement pour les nombres irrationnels.

Nous sommes néanmoins rassurés: un ordinateur pouvant convenablement manipuler des nombres, il pourra donc astucieusement nous servir de calculatrice.
Au prix qu'il coûte, c'est déjà ça...